¿Qué es multiplicacion de matrices?

Multiplicación de Matrices

La multiplicación de matrices es una operación fundamental en álgebra lineal que combina dos matrices para producir una tercera matriz. A diferencia de la multiplicación de números reales, la multiplicación de matrices tiene reglas y restricciones específicas.

Condiciones para la multiplicación:

• Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse (A * B), el número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de filas de la matriz B.
  • Si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p, entonces el producto A * B será una matriz m x p.

Proceso de Multiplicación:

• Cada elemento de la matriz resultante C (donde C = A * B) se calcula como el producto escalar de una fila de A y una columna de B.

• El elemento c_ij de la matriz C se obtiene sumando los productos de los elementos correspondientes de la fila i de A y la columna j de B. Matemáticamente:

  • c_ij = Σ (a_ik * b_kj) donde k va de 1 a n (el número de columnas de A, que es igual al número de filas de B).

Ejemplo:

Consideremos las matrices:

A = | 1 2 | | 3 4 |

B = | 5 6 | | 7 8 |

Entonces, A * B =

| (15 + 27) (16 + 28) | | (35 + 47) (36 + 48) |

= | 19 22 | | 43 50 |

Propiedades de la multiplicación de matrices:

• No conmutativa: En general, A * B ≠ B * A. El orden de la multiplicación es importante.
• Asociativa: (A * B) * C = A * (B * C)
• Distributiva: A * (B + C) = A * B + A * C y (A + B) * C = A * C + B * C
• Multiplicación por la matriz identidad: A * I = A y I * A = A, donde I es la matriz identidad.
• Transposición: (A * B)^T = B^T * A^T, donde T denota la transpuesta de la matriz.
• El producto de una matriz y una matriz cero es una matriz cero.

Usos:

La multiplicación de matrices se utiliza ampliamente en diversos campos, incluyendo:

• Gráficos por computadora: Transformaciones geométricas (rotación, traslación, escalamiento).
• Física: Representación de transformaciones lineales, mecánica cuántica.
• Economía: Modelos de entrada-salida.
• Análisis de redes: Representación de conexiones entre nodos.
• Aprendizaje automático: En el cálculo de redes neuronales.

Matrices cuadradas

Cuando se trabaja con matrices cuadradas, A * A se puede definir como A². De manera similar, se pueden definir potencias superiores de A (A³, A⁴, etc.).